题目内容
【题目】已知圆:,直线.
(1)若直线与圆相切,求的值;
(2)若直线与圆交于不同的两点,当∠AOB为锐角时,求k的取值范围;
(3)若,是直线上的动点,过作圆的两条切线,切点为,探究:直线是否过定点。
【答案】(1) ; (2)或; (3) .
【解析】
(1)由直线l与圆O相切,得圆心O(0,0)到直线l的距离等于半径r=,由此能求出k.
(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),将直线l:y=kx﹣2代入x2+y2=2,得(1+k2)x2﹣4kx+2=0,由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k的取值范围.
(3)由题意知O,P,C,D四点共圆且在以OP为直径的圆上,设P(t,),其方程为,C,D在圆O:x2+y2=2上,求出直线CD:(x﹣)t﹣2y﹣2=0,联立方程组能求出直线CD过定点().
(1)由圆心O到直线l的距离,可得k=±1。
(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
将直线l:y=kx-2代入x2+y2=2,整理,得(1+k2)·x2-4kx+2=0,
所以,Δ=(-4k)2-8(1+k2)>0,即k2>1当∠AOB为锐角时,
则
,可得k2<>
又因为k2>1,故k的取值范围为或。
(3)设切点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
动点P的坐标为(x0,y0),则过切点C的切线方程为:x·x1+y·y1=2,所以x0·x1+y0·y1=2
同理,过切点D的切线方程为:x0·x2+y0·y2=2,
所以过C,D的直线方程为:x0·x+y0·y=2
又,将其代入上式并化简整理,
得,而x0∈R,
故且-2y-2=0,可得,y=-1,即直线CD过定点。
【题目】心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学,给所有同学几何和代数各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答,统计情况如下表:(单位:人)
几何题 | 代数题 | 总计 | |
男 同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对他们的答题进行研究,记甲、乙两名女生被抽到的人数为,求的分布列及数学期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |