题目内容

【题目】已知圆:,直线.

(1)若直线与圆相切,的值;

(2)若直线与圆交于不同的两点,当∠AOB为锐角时,k的取值范围;

(3),是直线上的动点,作圆的两条切线,切点为,探究:直线是否过定点。

【答案】(1) ; (2); (3) .

【解析】

(1)由直线l与圆O相切,得圆心O(0,0)到直线l的距离等于半径r=,由此能求出k.

(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),将直线l:y=kx﹣2代入x2+y2=2,得(1+k2)x2﹣4kx+2=0,由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k的取值范围.

(3)由题意知O,P,C,D四点共圆且在以OP为直径的圆上,设P(t,),其方程为,C,D在圆O:x2+y2=2上,求出直线CD:(x﹣)t﹣2y﹣2=0,联立方程组能求出直线CD过定点().

(1)由圆心O到直线l的距离可得k=±1。

(2)A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

将直线l:y=kx-2代入x2+y2=2,整理,(1+k2)·x2-4kx+2=0,

所以,Δ=(-4k)2-8(1+k2)>0,k2>1当∠AOB为锐角时,

,可得k2<>

又因为k2>1,k的取值范围为

(3)设切点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

动点P的坐标为(x0,y0),则过切点C的切线方程为:x·x1+y·y1=2,所以x0·x1+y0·y1=2

同理,过切点D的切线方程为:x0·x2+y0·y2=2,

所以过C,D的直线方程为:x0·x+y0·y=2

,将其代入上式并化简整理,

,x0∈R,

-2y-2=0,可得,y=-1,即直线CD过定点

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