题目内容
设点F是抛物线L：y2=4x的焦点，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）是抛物线L上的n个不同的点n（n≥3，n∈N*）（1）若抛物线L上三点P1、P2、P3的横坐标之和等于4，求
的值；（2）当n≥3时，若
，求证：
；（3）若将题设中的抛物线方程y2=4x推广为y2=2px（p＞0），请类比小题（2），写出一个一般化的命题及其逆命题，并判断其逆命题的真假．若是真命题，请予以证明；若是假命题，请说明理由．
【答案】分析：（1）抛物线l的焦点为F（1，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），利用抛物线的定义，结合x1+x2+x3=4，可得结论；
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn，利用抛物线的定义可得x1+x2+x3+…+xn=n，从而可证
=2n
（3）当n≥3时，若
，求证：
；
逆命题：当n≥3时，“若
，则
”
取n=4时，抛物线l的焦点为F（
，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分别过P1、P2、P3，P4作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，Q4，利用抛物线的定义，可得x1+x2+x3+x4=2p，从而可得结论．
解答：解：（1）抛物线l的焦点为F（1，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），
分别过P1、P2、P3作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，
∴
=（x1+
）+（x2+
）+（x3+
）=x1+x2+x3+3
∵x1+x2+x3=4，∴
=7
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn
∴
=（x1+1）+（x2+1）+（x3+1）+…+（xn+1）=x1+x2+x3+…+xn+n
∵
∴x1+x2+x3+…+xn=n
∴
=n+n=2n
（3）当n≥3时，若
，求证：
；
逆命题：当n≥3时，“若
，则
”
设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn
∴
=（x1+
）+（x2+
）+（x3+
）+…+（xn+
）=x1+x2+x3+…+xn+
∵
∴x1+x2+x3+…+xn=
∴
=
+
=np
逆命题为假命题：取n=4时，抛物线l的焦点为F（
，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分别过P1、P2、P3，P4作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，Q4，
∴
=x1+x2+x3+x4+2p=4p
∴x1+x2+x3+x4=2p
不妨取
，
，
，
，则
故
，
，
，
是一个当n=4时，该逆命题的一个反例．
点评：本题考查抛物线的定义，考查向量的运算，解题的关键是正确运用抛物线的定义，难度较大．
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn，利用抛物线的定义可得x1+x2+x3+…+xn=n，从而可证
=2n（3）当n≥3时，若
，求证：；逆命题：当n≥3时，“若
，则”取n=4时，抛物线l的焦点为F（
，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分别过P1、P2、P3，P4作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，Q4，利用抛物线的定义，可得x1+x2+x3+x4=2p，从而可得结论．解答：解：（1）抛物线l的焦点为F（1，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），
分别过P1、P2、P3作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，
∴
=（x1+）+（x2+）+（x3+）=x1+x2+x3+3∵x1+x2+x3=4，∴
=7（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn
∴
=（x1+1）+（x2+1）+（x3+1）+…+（xn+1）=x1+x2+x3+…+xn+n∵
∴x1+x2+x3+…+xn=n
∴
=n+n=2n（3）当n≥3时，若
，求证：；逆命题：当n≥3时，“若
，则”设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），…，Pn（xn，yn），分别过P1、P2、P3，…，Pn作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，…，Qn
∴
=（x1+）+（x2+）+（x3+）+…+（xn+）=x1+x2+x3+…+xn+∵
∴x1+x2+x3+…+xn=
∴
=+=np逆命题为假命题：取n=4时，抛物线l的焦点为F（
，0），设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4），分别过P1、P2、P3，P4作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q3，Q4，∴
=x1+x2+x3+x4+2p=4p∴x1+x2+x3+x4=2p
不妨取
，，，，则故
，，，是一个当n=4时，该逆命题的一个反例．点评：本题考查抛物线的定义，考查向量的运算，解题的关键是正确运用抛物线的定义，难度较大．
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科学实验活动册系列答案
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的最小值为4，
，试判断λ1+λ2是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由。 