题目内容

在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)求2sin2A+cos(A-C)的取值范围.
(Ⅰ)∵acosC,bcosB,ccosA成等差数列,
∴2bcosB=acosC+ccosA,
∴由正弦定理得:2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C),又A+B+C=π,
∴2sinBcosB=sin(π-B)=sinB,sinB>0,
∴cosB=
1
2
,B∈(0,π),
∴B=
π
3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,B=
π
3

∴A+C=
3

∴C=
3
-A,
又△ABC为锐角三角形,
∴0<C=
3
-A<
π
2
,0<A<
π
2

解得
π
6
<A<
π
2

∴2sin2A+cos(A-C)
=1-cos2A+cos(2A-
3

=1-cos2A-
1
2
cos2A+
3
2
sin2A
=
3
2
sin2A-
3
2
cos2A+1
=
3
sin(2A-
π
3
)+1,
π
6
<A<
π
2

∴0<2A-
π
3
3

∴0<sin(2A-
π
3
)≤1,
∴1<
3
sin(2A-
π
3
)+1≤
3
+1,
∴2sin2A+cos(A-C)的取值范围为(1,
3
+1].
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