题目内容
在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)求2sin2A+cos(A-C)的取值范围.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)求2sin2A+cos(A-C)的取值范围.
(Ⅰ)∵acosC,bcosB,ccosA成等差数列,
∴2bcosB=acosC+ccosA,
∴由正弦定理得:2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C),又A+B+C=π,
∴2sinBcosB=sin(π-B)=sinB,sinB>0,
∴cosB=
,B∈(0,π),
∴B=
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,B=
,
∴A+C=
,
∴C=
-A,
又△ABC为锐角三角形,
∴0<C=
-A<
,0<A<
,
解得
<A<
.
∴2sin2A+cos(A-C)
=1-cos2A+cos(2A-
)
=1-cos2A-
cos2A+
sin2A
=
sin2A-
cos2A+1
=
sin(2A-
)+1,
∵
<A<
,
∴0<2A-
<
,
∴0<sin(2A-
)≤1,
∴1<
sin(2A-
)+1≤
+1,
∴2sin2A+cos(A-C)的取值范围为(1,
+1].
∴2bcosB=acosC+ccosA,
∴由正弦定理得:2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C),又A+B+C=π,
∴2sinBcosB=sin(π-B)=sinB,sinB>0,
∴cosB=
1 |
2 |
∴B=
π |
3 |
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,B=
π |
3 |
∴A+C=
2π |
3 |
∴C=
2π |
3 |
又△ABC为锐角三角形,
∴0<C=
2π |
3 |
π |
2 |
π |
2 |
解得
π |
6 |
π |
2 |
∴2sin2A+cos(A-C)
=1-cos2A+cos(2A-
2π |
3 |
=1-cos2A-
1 |
2 |
| ||
2 |
=
| ||
2 |
3 |
2 |
=
3 |
π |
3 |
∵
π |
6 |
π |
2 |
∴0<2A-
π |
3 |
2π |
3 |
∴0<sin(2A-
π |
3 |
∴1<
3 |
π |
3 |
3 |
∴2sin2A+cos(A-C)的取值范围为(1,
3 |
练习册系列答案
相关题目