Question

（1）解方程|2x+2|-|x-3|=1
（2）计算(

1

2 +1

+

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+…+

1

2013 + 2012

)(

2013

+1)的值．

Answer 1

分析：（1）通过对x＜-1，-1≤x≤3，x＞3的分类讨论，去掉方程|2x+2|-|x-3|=1中的绝对值符号，转化为一次方程来解即可；
（2）利用分母有理化，将

1

n+1 + n

转化为

n+1

-

n

，即可求得（

1

2 +1

+

1

3 + 2

+…+

1

2013 + 2012

）（

2013

+1）的值．

解答：解：（1）当对x＜-1时，
|2x+2|-|x-3|=-（2x+2）-[-（x-3）]=1，
即-x-5=1，解得x=-6；
当-1≤x≤3时，|2x+2|-|x-3|=（2x+2）-[-（x-3）]=1，
即3x-2=0，解得x=

2

3

；
当x＞3时，|2x+2|-|x-3|=（2x+2）-（x-3）=1，
即x+5=1，解得x=-4（舍去），
∴x=-6或x=

2

3

；   
（2）∵

1

2 +1

=

2

-1，

1

3 + 2

=

3

-

2

，…，

1

2013 + 2012

=

2013

-

2012

，
∴

1

2 +1

+

1

3 + 2

+…+

1

2013 + 2012

=（

2

-1+

3

-

2

+…+

2013

-

2012

）
=

2013

-1，
∴（

1

2 +1

+

1

3 + 2

+…+

1

2013 + 2012

）（

2013

+1）
=（

2013

-1）（

2013

+1）
=2013-1
=2012．

点评：本题考查绝对值方程的解法，考查数列的求和，突出考查分类讨论思想与等价转化思想的应用，考查运算能力，属于中档题．