题目内容

(本小题满分12分)
如图,在三棱锥DABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCDABBCaEBC的中点,F在棱AC上,且AF=3FC

(1)求三棱锥DABC的表面积;
(2)求证AC⊥平面DEF
(3)若MBD的中点,问AC上是否存在一点N,使MN∥平面DEF?若存在,说明点N的位置;若不存在,试说明理由.

(1)
(2)要证明线面垂直,一般要通过线线垂直来证明,或者面面垂直的性质定理。
(3)当CFCN时,MNOF.∴CN

解析试题分析:解:(1)∵AB⊥平面BCD,∴ABBCABBD

∵△BCD是正三角形,且ABBCa,∴ADAC
GCD的中点,则CGAG

三棱锥DABC的表面积为
(2)取AC的中点H,∵ABBC,∴BHAC
AF=3FC,∴FCH的中点.
EBC的中点,∴EFBH.则EFAC
∵△BCD是正三角形,∴DEBC
AB⊥平面BCD,∴ABDE
ABBCB,∴DE⊥平面ABC.∴DEAC
DEEFE,∴AC⊥平面DEF
(3)存在这样的点N,当CN时,MN∥平面DEF
CM,设CMDEO,连OF.由条件知,O为△BCD的重心,COCM
∴当CFCN时,MNOF.∴CN
考点:空间点线面的位置关系
点评:解决该试题的关键是线面平行和线面垂直的运用,以及椎体体积的求解运用,属于中档题。

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