题目内容
(本小题满分12分)
如图,在三棱锥D-ABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=a,E为BC的中点,F在棱AC上,且AF=3FC.
(1)求三棱锥D-ABC的表面积;
(2)求证AC⊥平面DEF;
(3)若M为BD的中点,问AC上是否存在一点N,使MN∥平面DEF?若存在,说明点N的位置;若不存在,试说明理由.
(1).
(2)要证明线面垂直,一般要通过线线垂直来证明,或者面面垂直的性质定理。
(3)当CF=CN时,MN∥OF.∴CN=
解析试题分析:解:(1)∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥BC,AB⊥BD.
∵△BCD是正三角形,且AB=BC=a,∴AD=AC=.
设G为CD的中点,则CG=,AG=
.
∴,
,
.
三棱锥D-ABC的表面积为.
(2)取AC的中点H,∵AB=BC,∴BH⊥AC.
∵AF=3FC,∴F为CH的中点.
∵E为BC的中点,∴EF∥BH.则EF⊥AC.
∵△BCD是正三角形,∴DE⊥BC.
∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥DE.
∵AB∩BC=B,∴DE⊥平面ABC.∴DE⊥AC.
∵DE∩EF=E,∴AC⊥平面DEF.
(3)存在这样的点N,当CN=时,MN∥平面DEF.
连CM,设CM∩DE=O,连OF.由条件知,O为△BCD的重心,CO=CM.
∴当CF=CN时,MN∥OF.∴CN=
考点:空间点线面的位置关系
点评:解决该试题的关键是线面平行和线面垂直的运用,以及椎体体积的求解运用,属于中档题。
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