Question

地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数．①f（x）=p•q^x；②f（x）=px²+qx+1；③f（x）=x（x-q）²+p．
（以上三式中p、q均为常数，且q＞1，x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，依此类推）．
（1）为准确研究其价格走势，应选

 

种价格模拟函数．
（2）若f（0）=4，f（2）=6，预测该果品在

 

月份内价格下跌．（5月、6月）

Answer 1

分析：（1）欲找出能较准确反映数学成绩与考试序次关系的模拟函数，主要依据是呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势，故可从三个函数的单调上考虑，前面两个函数没有出现两个递增区间和一个递减区间，应选f（x）=x（x-q）²+p为其成绩模拟函数．
（2）由题中条件：f（0）=4，f（2）=6，得方程组，求出p，q即可，从而得到f（x）的解析式即可预测该果品在哪几个月份内价格下跌．

解答：解：（1）因为f（x）=pq^x是单调函数，f（x）=px²+qx+1，只有两个单调区间，不符合题设中的价格变化规律
在f（x）=（x-1）（x-q）²+p中，
f′（x）=3x²-4qx+q²，
令f′（x）=0，得x=q，x=

q

3

，即f（x）有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，符合题设中的价格变化规律
所以应选f（x）=x（x-q）²+p为其成绩模拟函数．
（2）①由f（0）=4，f（2）=6，得

p=4 2(2-q)2 又q＞1

+p=6得

p=4 q=3

f（x）=x³-6x²+9x+4（1≤x≤12，且x∈Z）．
由f′（x）=3x²-12x+9≤0得：1≤x≤3，
由题意可预测该果品在5、6月份内价格下跌．
故答案为：（1）③；（2）5月、6月．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．