Question

（本题满分12分）
把边长为的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为，容积为.

（Ⅰ）写出函数的解析式，并求出函数的定义域；
（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.

Answer 1

（Ⅰ），定义域为。（Ⅱ）容器高为时，容器的容积最大为.

解析试题分析：（Ⅰ）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为    ----2分.
则   .            ---------4分
函数的定义域为.         --------- 5分
（Ⅱ）实际问题归结为求函数在区间上的最大值点.
先求的极值点.
在开区间内，-----------6分
令，即令，解得.
因为在区间内，可能是极值点. 当时，；
当时，.            ------------8分
因此是极大值点，且在区间内，是唯一的极值点，
所以是的最大值点，并且最大值   
即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为.----------12分
考点：函数模型的实际应用；利用导数研究函数的极值和最值。
点评：本题主要考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中解答本题的关键是根据已知求出棱柱的底面面积和高，进而求出函数的解析式，建立数学模型．求解析式的时候，要记得求函数的定义域。