题目内容
（2013•辽宁二模）已知函数f（x）=-2sinxcosx+2cos2x+1
（1）设方程f（x）-1=0在（0，π）内有两个零点x1，x2，求x1+x2的值；
（2）若把函数y=f（x）的图象向左移动m（m＞0）个单位，再向下平移2个单位，使所得函数的图象关于y轴对称，求m的最小值．
（1）设方程f（x）-1=0在（0，π）内有两个零点x1，x2，求x1+x2的值；
（2）若把函数y=f（x）的图象向左移动m（m＞0）个单位，再向下平移2个单位，使所得函数的图象关于y轴对称，求m的最小值．
分析：（1）把给出的函数解析式降幂后化积，由f（x）-1=0求出在（0，π）内的两个根，则x1+x2的值可求；
（2）利用函数图象的平移变换得到平移后图象所对应的函数解析式，由平移后的函数图象关于y轴对称，说明平移后的图象对应的函数为偶函数，由此得到m的值，由m＞0求出m的最小值．
（2）利用函数图象的平移变换得到平移后图象所对应的函数解析式，由平移后的函数图象关于y轴对称，说明平移后的图象对应的函数为偶函数，由此得到m的值，由m＞0求出m的最小值．
解答：解：（1）由题设f（x）=-sin2x+1+cos2x+1=
cos(2x+
)+2．
∵f（x）-1=0，∴
cos(2x+
)+2=1，
∴cos(2x+
)=-
，
则2x+
=2kπ+
π或2x+
=2kπ+
π，k∈Z，
得x=kπ+
或x=kπ+
，k∈Z，
∵x∈（0，π），∴x1=
，x2=
，
∴x1+x2=
π；
（2）由函数y=f（x）的图象向左移动m（m＞0）个单位，再向下平移2个单位，所得图象对应的函数解析式为，
g（x）=
cos[2(x+m)+
]+2-2=
cos(2x+
+2m)．
要使y=g（x）的图象关于y轴对称，则函数g（x）为偶函数，
需使2m+
=kπ，k∈Z，
∴m=
-
，k∈Z，
∵m＞0，
∴当k=1时，m取最小值为
．
| 2 |
| π |
| 4 |
∵f（x）-1=0，∴
| 2 |
| π |
| 4 |
∴cos(2x+
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
则2x+
| π |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
得x=kπ+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∵x∈（0，π），∴x1=
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴x1+x2=
| 3 |
| 4 |
（2）由函数y=f（x）的图象向左移动m（m＞0）个单位，再向下平移2个单位，所得图象对应的函数解析式为，
g（x）=
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 4 |
要使y=g（x）的图象关于y轴对称，则函数g（x）为偶函数，
需使2m+
| π |
| 4 |
∴m=
| kπ |
| 2 |
| π |
| 8 |
∵m＞0，
∴当k=1时，m取最小值为
| 3π |
| 8 |
点评：本题考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，是中档题．
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