Question

已知数列{x_n}满足xn+1-xn=(-

1

2

)n，n∈N*，且x1=1．设an=

3

4

xn-

1

2

，且T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+（2n-1）a_2n-1+2na_2n．
（Ⅰ）求x_n的表达式；
（Ⅱ）求T_2n；
（Ⅲ）若Qn=1-

3n+1

(2n+1)2

(n∈N*)，试比较9T_2n与Q_n的大小，并说明理由

Answer 1

分析：（I）由∵xn+1-xn=(-

1

2

)n，可用累加法求解；
（Ⅱ）由x_n求得a_n从而得到T_2n，观察其结构是一个等差数列与等比数列积的形式，可用错位相减法求解．（Ⅲ）由（Ⅱ）可得9T2n=1-

3n+1

22n

.再与Q_n比较．

解答：解：（I）∵xn+1-xn=(-

1

2

)n，
∴x_n=x₁+（x₂-x₁）+（x₃-x₂）++（x_n-x_n-1）
=1+(-

1

2

)+(-

1

2

)2++(-

1

2

)n-1
=

1-(- 1 2 )2

1-(- 1 2 )

=

2

3

+

1

3

(-

1

2

)n-1（4分）
当n=1时上式也成立，∴xn=

2

3

+

1

3

(-

1

2

)n+1(n∈N*).（5分）
（Ⅱ）an=

3

4

xn-

1

2

=

1

4

(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n+1.
∵T_2n=a₁+2a₂+3a₃++（2n-1）a_2n-1+2na_2n=(-

1

2

)2+2(-

1

2

)3+3(-

1

2

)4++(2n-1)(-

1

2

)2n+2n(-

1

2

)2n+1①
∴-

1

2

T2n=(

1

2

)3+2(-

1

2

)4+3(-

1

2

)3++(2n-1)(-

1

2

)2n+1+2n(-

1

2

)2n+2②
①-②，得

3

2

T2n=(-

1

2

)2+(-

1

2

)3++(-

1

2

)2n+1-2n(-

1

2

)2n+2（8分）
∴

3

2

T2n=

1 4 [1-(- 1 2 )2n]

1+ 1 2

-2n(-

1

2

)2n+2=

1

6

-

1

6

(-

1

2

)2n-

n

2

(-

1

2

)2n.T2n=

1

9

-

1

9

(-

1

2

)2n-

n

3

(-

1

2

)2n=

1

9

(1-

3n+1

22n

).（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得9T2n=1-

3n+1

22n

.
当n=1时，2²ⁿ=4，（2n+1）²=9，∴9T_2n＜Q_n；（11分）
当n=2时，2²ⁿ=16，（2n+1）²=25，∴9T_2n＜Q_n；（12分）
当n≥3时，2²ⁿ=[（1+1）ⁿ]²=（C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_nⁿ）²＞（2n+1）²．∴9T_2n＞Q_n．
综上所述，当n=1，2时，9T_2n＜Qn；当n≥3时，9T_2n＞Qn．（14分）

点评：本题主要考查累加法求数列通项，错位相减法求和以及数列的比较渗透了不等式问题．