Question

已知椭圆E的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁作斜率为2的直线交椭圆E于P点，若△PF₁F₂为直角三角形，则椭圆E的离心率为

 

．

Answer 1

分析：①当PF₂⊥x轴时，可得P(c，

b2

a

)，由于直线的斜率为2，可得

b2 a

2c

=2，即可得出．
②当PF₁⊥PF₂时，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则

m+n=2a n m =2 m2+n2=4c2

即可得出．

解答：解：分类讨论：①当PF₂⊥x轴时，可得P(c，

b2

a

)，
∵直线的斜率为2，
∴

b2 a

2c

=2，化为b²=4ac=a²-c²，
∴e²+4e-1=0，1＞e＞0，
解得e=

5

-2．
②当PF₁⊥PF₂时，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
则

m+n=2a n m =2 m2+n2=4c2

化为9c²=5a²，
解得e=

5

3

．
综上可知：椭圆的离心率为

5

-2或

5

3

．
故答案为：

5

-2或

5

3

．

点评：本题考查了椭圆的定义与性质、分类讨论、直角三角形的边角关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．