题目内容
【题目】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,椭圆 过点 ,直线 交 轴于 ,且 , 为坐标原点.
(1)求椭圆 的方程;
(2)设 是椭圆 的上顶点,过点 分别作直线 交椭圆 于 两点,设这两条直线的斜率分别为 ,且 ,证明:直线 过定点.
【答案】
(1)解:∵椭圆 过点 ,∴ ① ,
∵ ,∴ ,则 ,
∴ ②,由①②得 ,
∴椭圆 的方程为
(2)解:当直线 的斜率不存在时 ,设 ,则 ,由 得 ,得
当直线 的斜率存在时,设 的方程为 ,
,
得 ,
,
即 ,
由 ,
即 .
故直线 过定点 .
【解析】(1)由椭圆过已知点及向量的关系得到关于a,b,c的方程组求a,b,c。
(2)将直线方程设为y=kx+m,代入椭圆方程得方程组,消去y得关于x的一元二次方程,用韦达定理将斜率和表示出来,得k,m的关系式,回代入直线方程中得直线所过定点坐标。
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