题目内容
把正偶数列{2n}中的数按“上小下大，左小右大”的原则排成如图“三角形”所示的数表，设aij（i，j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数．（1）若amn=2010，求m，n的值．
（2）已知函数f（x）的反函数为f-1（x）=n+125n•x3（x＞0，n∈N*），若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为bn．①求数列{f（bn）}的前n项和Sn；②令Cn=
| 52n |
| 5n-1 |
| 4 |
| 3 |
分析：（1）数表中是连续的偶数，amn是第m行的第n个数，n≤m，所以先计算前m-1行共有1+2+3+…+m-1=
个数，再加上n等于1005，求出m，n的值．
（2）①先根据f（x）的反函数解析式求出f（x）的解析式，利用等差数列的求和公式，求出前n-1行共有多少个偶数，找到第n行的第一个数，再用等差数列的求和公式求出bn，代入f（x），利用错位相减求和即可．
②化简Tn，再利用数学归纳法证明Tn＜
•n!成立即可．数学归纳法的步骤，先验证n取第一个数时命题成立，假设n=k时命题成立，再证明n=k+1时命题也成立．
| m(m-1) |
| 2 |
（2）①先根据f（x）的反函数解析式求出f（x）的解析式，利用等差数列的求和公式，求出前n-1行共有多少个偶数，找到第n行的第一个数，再用等差数列的求和公式求出bn，代入f（x），利用错位相减求和即可．
②化简Tn，再利用数学归纳法证明Tn＜
| 4 |
| 3 |
解答：解：（1）因2010是第1005个偶数，而前m-1行共有1+2+…+n=
个偶数，又∵n≤m，故2010位于第45行第15个偶数，故m=45，n=15
（2）①由y=n+125n•x3得：x=
，f（x）=设T表示前n个偶数和，则
bn=T
-T
=
-
=n3+n
故f（bn）=
，Sn=
+
+
+…+
，
Sn=
+
+…+
Sn=
+
+
+…+
+
，
∴Sn=
-
②易知Cn=
• f(bn)=
•
=
•
∴Tn=
…
（n!）
要证Tn＜
•n!只需证明=
…
＜
，
又只需证明
•
…
=（1-
）（1-
）…（1-
）＞
，
下先用数学归纳法证明：（1-
）（1-
）…（1-
）≥1-（
+
+…+
）
（Ⅰ）当n=1时，1-
=
≥1-
故n=1成立；
（Ⅱ）假设n=k时，=（1-
）（1-
）…（1-
）＞1-（
+
+…+
），
则n=k+1时，=（1-
）（1-
）…（1-
）（1-
）＞1-（
+
+…+
）（1-
），
=1-（
+
+…+
+
）+（
+
+…+
）
＞1-（
+
+…+
+
），
故n=k+1也成立．
综合（Ⅰ），（Ⅱ）知：：（1-
）（1-
）…（1-
）≥1-（
+
+…+
）=1-
=
+
＞
故原不等式成立．
| m(m-1) |
| 2 |
（2）①由y=n+125n•x3得：x=
| |||
| 5n |
bn=T
| n(n+1) |
| 2 |
| n(n-1) |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
故f（bn）=
| n |
| 5n |
| 1 |
| 5 |
| 2 |
| 52 |
| 3 |
| 53 |
| n |
| 5n |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 52 |
| 2 |
| 53 |
| n |
| 5n+1 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 52 |
| 1 |
| 53 |
| 1 |
| 5n |
| 1 |
| 5n+1 |
∴Sn=
| 5 |
| 16 |
| 4n+5 |
| 16×5n |
②易知Cn=
| 52n |
| 5n-1 |
| 52n |
| 5n-1 |
| n |
| 5n |
| n5n |
| 5n-1 |
∴Tn=
| 51 |
| 5n-1 |
| 52 |
| 5n-1 |
| 5n |
| 5n-1 |
要证Tn＜
| 4 |
| 3 |
| 51 |
| 5n-1 |
| 52 |
| 5n-1 |
| 5n |
| 5n-1 |
| 4 |
| 3 |
又只需证明
| 5-1 |
| 5 |
| 52-1 |
| 52 |
| 5n-1 |
| 5n |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 52 |
| 1 |
| 5n |
| 3 |
| 4 |
下先用数学归纳法证明：（1-
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 52 |
| 1 |
| 5n |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 52 |
| 1 |
| 5n |
（Ⅰ）当n=1时，1-
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
（Ⅱ）假设n=k时，=（1-
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 52 |
| 1 |
| 5k |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 52 |
| 1 |
| 5k |
则n=k+1时，=（1-
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 52 |
| 1 |
| 5k |
| 1 |
| 5k+1 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 52 |
| 1 |
| 5k |
| 1 |
| 5k+1 |
=1-（
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 52 |
| 1 |
| 5k |
| 1 |
| 5k+1 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 52 |
| 1 |
| 5k |
| 1 |
| 5k+1 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 52 |
| 1 |
| 5k |
| 1 |
| 5k+1 |
故n=k+1也成立．
综合（Ⅰ），（Ⅱ）知：：（1-
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 52 |
| 1 |
| 5n |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 52 |
| 1 |
| 5n |
| ||||
1-
|
=
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 5n |
| 3 |
| 4 |
故原不等式成立．
点评：本题主要考查了函数与数列综合应用来求数列的和，以及数学归纳法证明不等式成立，注意解题步骤的书写．
练习册系列答案
相关题目
的前n项之积为Tn（n∈N*），求证：
．
(n≥2),求数列{cn}的前n项和Sn.
(n≥2),数列{cn}的前n项和为Sn,求
Sn的值.