Question

设数列的各项都为正数，其前项和为，已知对任意，是和的等差中项．

（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）证明．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）见解析（I）

（Ⅱ）见解析（Ⅱ）

【解析】（I）由题意可知,且,

然后再根据,求出a₁,同时可消去S_n得到，

从而，问题得解.

由已知，，且．        ………………2分

当时，，解得．          ………………3分

当时，有．

于是，即．

于是，即．

因为，所以．    ………………6分

故数列是首项为，公差为的等差数列，且．  ………………7分

（II）在（I）的基础上可求出所以,

然后采用裂项求和的方法求解即可.

因为，则．  ………10分

所以2(． …13分