题目内容

（坐标系与参数方程选做题）
（1）在极坐标系中，设圆ρ=4上的点到直线ρ(cosθ+
3
sinθ)=6的距离为d，求d的最大值；
（2）θ取一切实数时，连接A（4sinθ，6cosθ）和B（-4cosθ，6sinθ）两点的线段的中点为M，求点M的轨迹．
分析：（1）欲求d的最大值，即求出圆上一点何时到直线的距离最大，先将圆p=4和直线p（cosθ+
3
sinθ）=6的极坐标方程化成直角坐标方程，再结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得．
（2）先利用中点坐标公式得点A，B与点M坐标之间的关系，得出其坐标适合的参数方程，最终消去参数即可得到点M轨迹的普通方程．
解答：解：（1）将极坐标方程p=4转化为普通方程：x2+y2=16，
p（cosθ+
3
sinθ）=6可化为x+
3
y=6，
在x2+y2=16上任取一点A（4cosa，4sina），则点A到直线的距离为
d=
|4cosa+4
3
sina-6|
2
=
|8sin(a+30°)-6|
2
，它的最大值为7．
∴d的最大值为7．
（2）∵点M（x，y）是线段AB的中点，
∴x=
4sinθ-4cosθ
2
，y=
6cosθ+6sinθ
2
，
即 x=2sinθ-2cosθ，y=3cosθ+3sinθ
消去参数θ得
x2
8
+
y2
18
=1，
∴轨迹为焦点在y轴上的椭圆
x2
8
+
y2
18
=1．
点评：本题考查轨迹方程、点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
练习册系列答案
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（坐标系与参数方程选做题）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，单位长度一致的坐标系下，已知曲线C1的参数方程为
x=2cosθ+3
y=2sinθ
（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a，则这两曲线相切时实数a的值为
 
．
（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（ρ＞0，0≤θ＜
π
2
）中，曲线ρ=2sinθ与ρ=2cosθ的交点的极坐标为
（
2
，
π
4
）
（
2
，
π
4
）
．
（坐标系与参数方程选做题）
曲线
x=t
y=
1
3
t2
（t为参数且t＞0）与直线ρsinθ=1（ρ∈R，0≤θ＜π）交点M的极坐标为
（2，
π
6
）
（2，
π
6
）
．
（1）（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点A（1，
π
3
），B（3，
2π
3
），O是极点，则△AOB的面积等于
3
3
4
3
3
4
；
（2）（不等式选做题）关于x的不等式|
x+1
x-1
|＞
x+1
x-1
的解集是
（-1，1）
（-1，1）
．
（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点P（2，
π3
），则过点P且平行于极轴的直线的极坐标方程为
 
．

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