题目内容

抛物线C：y²=2px的焦点坐标为 $数学公式$ ，则抛物线C的方程为________．

y²=2x
分析：根据抛物线y²=2px，可知焦点坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），故可求p，从而得到抛物线C的方程．
解答：由题意， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴p=1，
则抛物线C的方程为 y²=2x．
故答案为：y²=2x．
点评：本题以抛物线为载体，考查几何性质，属于基础题．

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（文科做（1）（2）（4），理科全做）
已知过抛物线C₁：y²=2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点
（1）证明：y₁y₂=-p²且（y₁+y₂）²=2p（x₁+x₂-p）；
（2）点Q为线段AB的中点，求点Q的轨迹方程；
（3）若x₁=1，x₂=4，以坐标轴为对称轴的椭圆或双曲线C₂过A、B两点，求曲线C₁和C₂的方程；
（4）在（3）的条件下，若曲线C₂的两焦点分别为F₁、F₂，线段AB上有两点C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）（x₃＜x₄），满足：①S△F1F2A-S△F1F2C=S△F1F2D-S△F1F2B，②AB=3CD．在线段F₁ F₂上是否存在一点P，使PD=

，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

（2012•大连二模）已知圆C：(x-2p

(r＞0，p＞0)过抛物线

=2px的焦点，则抛物线y²=2px的准线与圆C的位置关系是（　　）

D．无法确定

已知抛物线C：y²＝2px(p＞0)，直线l交C于E、F两点．

(1)求证：命题“若直线l过点A(2p，0)，则∠EOF＝90°(O为坐标原点)”是真命题；

(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由；

(3)将点A(2p，0)向右或向左移动为点A(c，0)，直线l过点A交C于E、F两点．当c＞2p及0＜c＜2p时，分别猜测∠EOF大小的变化情况(只须写出结论，不必证明)．

经过抛物线y²=2p（x+2p）（p＞0）的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程．