Question

3．已知向量$\overrightarrow a=（cosx+sinx，2sinx），\overrightarrow b=（cosx-sinx，cosx）$．令f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，
（1）求f（x）的最小正周期；      
（2）当$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}]$时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的值．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式、三角函数的周期性即可得出；
（2）利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+2sinx•cosx
=cos²x-sin²x+2sinxcosx=cos2x+sin2x
=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
由最小正周期公式得：$T=\frac{2π}{2}=π$．
（2）$x∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，则$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{3π}{4}，\frac{7π}{4}]$，
令$2x+\frac{π}{4}=\frac{3π}{2}$，则$x=\frac{5π}{8}$，
从而f（x）在$[\frac{π}{4}，\frac{5π}{8}]$单调递减，在$[\frac{5π}{8}，\frac{3π}{4}]$单调递增．
即当$x=\frac{5π}{8}$时，函数f（x）取得最小值$-\sqrt{2}$．

点评 本题考查了向数量积运算性质、倍角公式、和差公式、三角函数的性质，考查了推理能力、计算能力，属于基础题．