Question

5．已知A={y|y=2x²-x-3，x∈R}，B={y|y=ax²+x-3，a＞0，x∈R}，求A∩B，A∪B．

Answer 1

分析 利用配方法求得函数的值域化简集合A，B，然后对a≥2和0＜a＜2分类求得A∩B，A∪B．

解答 解：∵y|y=2x²-x-3=$2（x-\frac{1}{4}）^{2}-\frac{25}{8}≥-\frac{25}{8}$，
∴A={y|y=2x²-x-3，x∈R}=[-$\frac{25}{8}，+∞$）；
∵y=ax²+x-3=$a（x+\frac{1}{2a}）^{2}-\frac{1}{4a}-3$$≥-\frac{1}{4a}-3$，
B={y|y=ax²+x-3，a＞0，x∈R}=[$-\frac{1}{4a}-3$，+∞）．
由$-\frac{1}{4a}-3=-\frac{25}{8}$，解得：a=2．
∴当a≥2时，$-\frac{1}{4a}-3≥-\frac{25}{8}$，
A∩B=[$-\frac{1}{4a}-3$，+∞），A∪B=[-$\frac{25}{8}，+∞$）；
当0＜a＜2时，$-\frac{1}{4a}-3＜-\frac{25}{8}$，
A∩B=[-$\frac{25}{8}，+∞$），A∪B=[$-\frac{1}{4a}-3$，+∞）．

点评 本题考查利用配方法求二次函数的值域，考查了交集与并集的运算，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．