题目内容

已知一直线l与椭圆
x2
8
+
y2
4
=1相交于A、B两点，且弦AB的中点为P（2，1）．
（I）求直线l的方程；
（II）求|AB|的长．
分析：（I）先假设直线方程，在与椭圆方程联立得：（1+2k2）x2+4k（1-2k）x+2（1-2k）2-8=0，利用中点坐标公式即可求；
（II）由（I）得x1+x2=4，x1x2=
10
3
，从而可求|AB|的长．
解答：解：（I）若斜率不存在，则由椭圆的对称性及弦AB的中点为P（2，1），知不成立
若斜率存在，设斜率为k则直线的方程为：y-1=k（x-2），∴y=kx+1-2k，
代入椭圆方程得：x2-2（kx+1）-2k2=8，
整理得：（1+2k2）x2+4k（1-2k）x+2（1-2k）2-8=0，①
设A(x1，y2)，B(x2，y2)，则x1+x2=
4k(2k-1)
2k2+1
=4，
解得：k=-1，即1的方程为：x+y-3=0
（注：也可用点差法求解）
（II）当k=-1时，方程①为：3x2-12x+10=0，
∴x1+x2=4，x1x2=
10
3
．
∴|AB|=
2
16-4×
10
3
=
4
3
3
；
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线相交时的中点弦问题，通常利用设而不求的方法，应注意进行验证，求弦长时可直接利用弦长公式求解．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一条准线为x=-4，且与抛物线y2=8x有相同的焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P是该椭圆的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点恰好落在由该椭圆的两个焦点、两个短轴顶点所围成的四边形区域内（包括边界），求此时直线l斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），离心率为
3
3
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知一直线l过椭圆C的右焦点F2，交椭圆于点A、B．
（ⅰ）若满足
OA
•
OB
=
2
tan∠AOB
（O为坐标原点），求△AOB的面积；
（ⅱ）当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由．
已知点P（x，y）为椭圆
x2
4
+y2=1上一点，F1、F2为椭圆左、右焦点，下列结论中：①△PF1F2面积的最大值为
2
；②若过点P、F2的直线l与椭圆的另一交点为Q，则△PF1Q的周长为8；③若过点P、F2的直线l与椭圆的另一交点为Q，则恒有
|PF2|+|QF2|
|PF2|•|QF2|
=4；对定点A(
3
2
，
1
2
)，则|
PA
|+|
PF2
|的取值范围为[4-
7
，4+
7
．其中正确结论的番号是
②③④
②③④
．
（2013•朝阳区一模）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点(1，
3
2
)，离心率为
3
2
，点A为其右顶点．过点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF与直线x=3分别交于点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求
EM
•
FN
的取值范围．
已知椭圆C： （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知一直线l过椭圆C的右焦点F2，交椭圆于点A、B．
（ⅰ）若满足（O为坐标原点），求△AOB的面积；
（ⅱ）当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由．

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