题目内容

已知点P（x，y）为椭圆
x2
4
+y2=1上一点，F1、F2为椭圆左、右焦点，下列结论中：①△PF1F2面积的最大值为
2
；②若过点P、F2的直线l与椭圆的另一交点为Q，则△PF1Q的周长为8；③若过点P、F2的直线l与椭圆的另一交点为Q，则恒有
|PF2|+|QF2|
|PF2|•|QF2|
=4；对定点A(
3
2
，
1
2
)，则|
PA
|+|
PF2
|的取值范围为[4-
7
，4+
7
．其中正确结论的番号是
②③④
②③④
．
分析：①△PF1F2面积S=
1
2
|F1F2|•|y|，所以当|y|取最大值时，△PF1F2面积最大，此时点P为椭圆短轴端点；
②利用椭圆的第一定义，即可求得；
③分斜率存在与不存在讨论，假设直线方程代入椭圆方程，借助于韦达定理与椭圆的第二定义，化简即可；
④根据定点A(
3
2
，
1
2
)在椭圆
x2
4
+y2=1的内部，点P（x，y）为椭圆
x2
4
+y2=1上一点，可得|
PA
|+|
PF2
|=|
PA
|+(2a-|
PF1
|)=2a+(|
PA
|-|
PF1
|)，从而当且仅当P、A、F1三点共线时，|
PA
|-|
PF1
|取得最小与最大，|
PA
|+|
PF2
|取得最小与最大．
解答：解：①△PF1F2面积S=
1
2
|F1F2|•|y|=
3
|y|，所以当|y|取最大值时，△PF1F2面积最大，所以点P为椭圆短轴端点时，|y|取最大值，此时y=±1，即△PF1F2面积的最大值S=
3
，故①错误；
②∵P，Q在椭圆上，F1、F2为椭圆左、右焦点
∴△PF1Q的周长为2a+2a=4a，
∵a=2
∴△PF1Q的周长为8，
故②正确；
③斜率存在时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程为：y=k（x-
3
）
代入椭圆方程
x2
4
+y2=1得：(1+4k2)x2-8
3
k2x+12k2-4=0
∴x1+x2=
8
3
k2
1+4k2
，x1x2=
12k2-4
1+4k2

根据椭圆的第二定义可得：
|PF2|
a2
c
-x1
=
c
a
，
|QF2|
a2
c
-x2
=
c
a

∴|PF2|=a-ex1，|QF2|=a-ex2
∴
|PF2|+|QF2|
|PF2|•|QF2|
=
1
|PF2|
+
1
|QF2|
=
1
a-ex1
 +
1
a-ex2

=
2a-e(x1+x2)
(a-ex1)(a-ex2)
=
2a-e(x1+x2)
a2-ae(x1+x2)+e2x1x2

∵a=2，e(x1+x2)=
3
2
×
8
3
k2
1+4k2
=
12k2
1+4k2
，ae(x1+x2)=
24k2
1+4k2
，e2x1x2=
3
4
×
12k2-4
1+4k2
= 
9k2-1
1+4k2

∴
|PF2|+|QF2|
|PF2|•|QF2|
=4
当斜率不存在时，|PF2|=|QF2|=
1
2
，∴
|PF2|+|QF2|
|PF2|•|QF2|
=4，故③正确；

④∵定点A(
3
2
，
1
2
)在椭圆
x2
4
+y2=1的内部，点P（x，y）为椭圆
x2
4
+y2=1上一点，
∴|
PA
|+|
PF2
|=|
PA
|+(2a-|
PF1
|)=2a+(|
PA
|-|
PF1
|)
当且仅当P、A、F1三点共线时，|
PA
|-|
PF1
|取得最小与最大，|
PA
|+|
PF2
|取得最小与最大．
∵A(
3
2
，
1
2
)，F1(-
3
，0)
∴|AF1|=
7

∴|
PA
|+|
PF2
|的取值范围为[4-
7
，4+
7
]，故④正确
故答案为：②③④
点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的性质，考查椭圆的两个定义，解题思维有点困难，计算要细心．
练习册系列答案
相关题目
已知点P（x，y）为圆C：x2+y2-6x+8=0上的一点，则x2+y2的最大值是（　　）
已知点P（x，y）为曲线y=x+
1
x
上任一点，点A（0，4），则直线AP的斜率k的取值范围是（　　）
已知点P（x，y）为椭圆
x2
4
+y2=1上一点，F1、F2为椭圆左、右焦点，下列结论中：①△PF1F2面积的最大值为
2
；②若过点P、F2的直线l与椭圆的另一交点为Q，则△PF1Q的周长为8；③若过点P、F2的直线l与椭圆的另一交点为Q，则恒有
|PF2|+|QF2|
|PF2|•|QF2|
=4；对定点A(
3
2
，
1
2
)，则|
PA
|+|
PF2
|的取值范围为[4-
7
，4+
7
．其中正确结论的番号是______．
已知点P（x，y）为圆C：x2+y2-6x+8=0上的一点，则x2+y2的最大值是（ ）
A．2
B．4
C．9
D．16

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网