Question

甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数，，及任意的，当甲公司投入万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险. 设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：

(1)请解释；

(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？

(3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的宣传费：若甲先投入万元，乙在上述策略下，投入最少费用；而甲根据乙的情况，调整宣传费为；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为如此得当甲调整宣传费为时，乙调整宣传费为；试问是否存在，的值，若存在写出此极限值（不必证明），若不存在，说明理由.

Answer 1

⑴=8， =12，⑵甲公司至少投入17万元,乙公司至少投入25万元.⑶点M (17, 25) 是双方在宣传投入上保证自己不失败的一个平衡点.

解析:

(1)表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要回避失败风险,至少要投入=8万元;          …………………… (2分)

表示当乙公司不投入宣传费时, 甲公司要回避失败风险,至少要投入   =12万元.              …………………………… (4分)

(2)  解方程组

     ………………(6分)

得:  x = 17, y = 25  ……………(9分)  

故甲公司至少投入17万元,乙公司至少投入25万元. …… (11分)

(3)  经观察, 显见 .

 故点M (17, 25) 是双方在宣传投入上保证自己不失败的一个平衡点. ………(16分)