Question

15．已知函数f（x）=xlnx，若x＞1，试判断方程f（x）=（x-1）（ax-a-1）的解的个数．

Answer 1

分析 方程f（x）=（x-1）（ax-a-1）可化为a=$\frac{xlnx}{（x-1）^{2}}$+$\frac{1}{x-1}$，从而再令g（x）=$\frac{xlnx}{（x-1）^{2}}$+$\frac{1}{x-1}$，求导g′（x）=$\frac{（lnx+1）（x-1）^{2}-2xlnx（x-1）}{（x-1）^{4}}$-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$=$\frac{-lnx（x+1）}{（x-1）^{3}}$＜0，从而确定g（x）是减函数，再求极限可得$\underset{lim}{x→1}$（$\frac{xlnx}{（x-1）^{2}}$+$\frac{1}{x-1}$）→+∞，$\underset{lim}{x→+∞}$（$\frac{xlnx}{（x-1）^{2}}$+$\frac{1}{x-1}$）=0，从而确定方程的解的个数．

解答 解：∵f（x）=xlnx，f（x）=（x-1）（ax-a-1）且x＞1，
∴xlnx=（x-1）（ax-a-1），
∴a=$\frac{xlnx}{（x-1）^{2}}$+$\frac{1}{x-1}$，
令g（x）=$\frac{xlnx}{（x-1）^{2}}$+$\frac{1}{x-1}$，
则g′（x）=$\frac{（lnx+1）（x-1）^{2}-2xlnx（x-1）}{（x-1）^{4}}$-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$
=$\frac{-lnx（x+1）}{（x-1）^{3}}$＜0，
故g（x）=$\frac{xlnx}{（x-1）^{2}}$+$\frac{1}{x-1}$在（1，+∞）上是减函数，
又$\underset{lim}{x→1}$（$\frac{xlnx}{（x-1）^{2}}$+$\frac{1}{x-1}$）→+∞，$\underset{lim}{x→+∞}$（$\frac{xlnx}{（x-1）^{2}}$+$\frac{1}{x-1}$）=0，
故当a≤0时，方程f（x）=（x-1）（ax-a-1）无解，
当a＞0时，方程f（x）=（x-1）（ax-a-1）有且只有一个解．

点评 本题考查了导数的综合应用及化简运算的能力，属于中档题．