题目内容

已知过函数f (x)=x2+bx上的点A(1,f(1))的切线为3x-y-1=0,数列{
1
f(n)
}的前n项和为Sn(n∈N),则
lim
n→
1
Sn•f(n)
=(  )
A、1
B、
1
3
C、0
D、不存在
分析:由过函数f (x)=x2+bx上的点A(1,f(1))的切线为3x-y-1=0可得f(x)=x2+x,可得
1
f(n)
=
1
n2+n
=
1
n
-
1
n+1
所以Sn=
n
n+1
1
Sn•f(n)
=
1
n2
所以
lim
n→
1
Sn•f(n)
=
lim
n→
1
n2
=0
解答:解:由题意可得
点A(1,f(1))在切线为3x-y-1=0上
∴点A的坐标为(1,2)
又∵点A在函数f (x)=x2+bx上
∴b=1
∴f(x)=x2+x
1
f(n)
=
1
n2+n
=
1
n
-
1
n+1

Sn=
1
f(1)
+
1
f(2)
+… +
1
f(n)

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1

=
n
n+1

1
Sn•f(n)
=
1
n
n+1
•(n2+n)
=
1
n2

lim
n→
1
Sn•f(n)
=
lim
n→
∞ 
1
n2
=0

故选C.
点评:本题考查以函数在某点的切线为载体求得函数解析式,利用数列的裂项相消的方法求出数列的和,再求出其极限,是一道函数与数列相结合的综合题,是高考考查的重点.
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