题目内容
已知过函数f (x)=x2+bx上的点A(1,f(1))的切线为3x-y-1=0,数列{
}的前n项和为Sn(n∈N),则
∞
=( )
1 |
f(n) |
lim |
n→ |
1 |
Sn•f(n) |
A、1 | ||
B、
| ||
C、0 | ||
D、不存在 |
分析:由过函数f (x)=x2+bx上的点A(1,f(1))的切线为3x-y-1=0可得f(x)=x2+x,可得
=
=
-
所以Sn=
,
=
所以
∞
=
∞
=0.
1 |
f(n) |
1 |
n2+n |
1 |
n |
1 |
n+1 |
n |
n+1 |
1 |
Sn•f(n) |
1 |
n2 |
lim |
n→ |
1 |
Sn•f(n) |
lim |
n→ |
1 |
n2 |
解答:解:由题意可得
点A(1,f(1))在切线为3x-y-1=0上
∴点A的坐标为(1,2)
又∵点A在函数f (x)=x2+bx上
∴b=1
∴f(x)=x2+x
∴
=
=
-
∴Sn=
+
+… +
=1-
+
-
+…+
-
=
=
=
∞
=
∞
=0
故选C.
点A(1,f(1))在切线为3x-y-1=0上
∴点A的坐标为(1,2)
又∵点A在函数f (x)=x2+bx上
∴b=1
∴f(x)=x2+x
∴
1 |
f(n) |
1 |
n2+n |
1 |
n |
1 |
n+1 |
∴Sn=
1 |
f(1) |
1 |
f(2) |
1 |
f(n) |
=1-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n |
1 |
n+1 |
=
n |
n+1 |
1 |
Sn•f(n) |
1 | ||
|
1 |
n2 |
lim |
n→ |
1 |
Sn•f(n) |
lim |
n→ |
1 |
n2 |
故选C.
点评:本题考查以函数在某点的切线为载体求得函数解析式,利用数列的裂项相消的方法求出数列的和,再求出其极限,是一道函数与数列相结合的综合题,是高考考查的重点.

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