题目内容
已知过函数f（x）=x3+ax2+1的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为-3．
（1）求a、b的值；
（2）求A的取值范围，使不等式f（x）≤A-1987对于x∈[-1，4]恒成立；
（3）令g（x）=-f（x）-3x2+tx+1．是否存在一个实数t，使得当x∈（0，1]时，g（x）有最大值1？
（1）求a、b的值；
（2）求A的取值范围，使不等式f（x）≤A-1987对于x∈[-1，4]恒成立；
（3）令g（x）=-f（x）-3x2+tx+1．是否存在一个实数t，使得当x∈（0，1]时，g（x）有最大值1？
分析：（1）求出原函数的导函数，利用在点B（1，b）的切线的斜率为-3列式求出a的值，再把点B的坐标代入函数解析式求a的值；
（2）求出导函数的零点，由零点对定义域分段，利用单调性求出函数f（x）在x∈[-1，4]上的最值，由最大值小于等于A-1987求解A的值；
（3）把f（x）代入g（x）的解析式，求出导函数，利用t与3的关系分析函数g（x）的单调区间，然后利用单调性求最值．
（2）求出导函数的零点，由零点对定义域分段，利用单调性求出函数f（x）在x∈[-1，4]上的最值，由最大值小于等于A-1987求解A的值；
（3）把f（x）代入g（x）的解析式，求出导函数，利用t与3的关系分析函数g（x）的单调区间，然后利用单调性求最值．
解答：解：（1）由f（x）=x3+ax2+1，得f′（x）=3x2+2ax，
依题意得k=f′（1）=3+2a=-3，∴a=-3，
∴f（x）=x3-3x2+1，把B（1，b）代入得：b=f（1）=-1，
∴a=-3，b=-1；
（2）令f′（x）=3x2-6x=0，得x=0或x=2．
∵f（0）=1，f（2）=23-3×22+1=-3，
f（-1）=-3，f（4）=17，
∴当x∈[-1，4]时，-3≤f（x）≤17．
要使f（x）≤A-1987对于x∈[-1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A-1987，
∴A≥2004；
（3）已知g（x）=-（x3-3x2+1）-3x2+tx+1=-x3+tx，
∴g′（x）=-3x2+t，
∵0＜x≤1，∴-3≤-3x2＜0．
①当t＞3时，t-3x2＞0，即g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，1]上为增函数．
g（x）的最大值g（1）=t-1=1，得t=2（不合题意，舍去）．
②当0≤t≤3时，g′（x）=-3x2+t，
令g′（x）=0，得x=
．
列表如下：
g（x）在x=
处取最大值：-(
)3+t
=1．
∴t=
=
＜
≤3
∴x=
＜1．
③当t＜0时，g′（x）=-3x2+t＜0，∴g（x）在（0，1]上为减函数，
∴g（x）在（0，1]上为增函数，
综上，存在一个t=
，使g（x）在（0，1]上有最大值1．
依题意得k=f′（1）=3+2a=-3，∴a=-3，
∴f（x）=x3-3x2+1，把B（1，b）代入得：b=f（1）=-1，
∴a=-3，b=-1；
（2）令f′（x）=3x2-6x=0，得x=0或x=2．
∵f（0）=1，f（2）=23-3×22+1=-3，
f（-1）=-3，f（4）=17，
∴当x∈[-1，4]时，-3≤f（x）≤17．
要使f（x）≤A-1987对于x∈[-1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A-1987，
∴A≥2004；
（3）已知g（x）=-（x3-3x2+1）-3x2+tx+1=-x3+tx，
∴g′（x）=-3x2+t，
∵0＜x≤1，∴-3≤-3x2＜0．
①当t＞3时，t-3x2＞0，即g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，1]上为增函数．
g（x）的最大值g（1）=t-1=1，得t=2（不合题意，舍去）．
②当0≤t≤3时，g′（x）=-3x2+t，
令g′（x）=0，得x=
|
列表如下：
x |
（0，
|
|
(
| ||||||||||||
| g′（x） | + | 0 | - | ||||||||||||
| g（x） | ↗ | 极大值 | ↘ |
|
|
|
∴t=
| 3 |
| ||
3
| |||
| 2 |
|
∴x=
|
③当t＜0时，g′（x）=-3x2+t＜0，∴g（x）在（0，1]上为减函数，
∴g（x）在（0，1]上为增函数，
综上，存在一个t=
3
| |||
| 2 |
点评：本题考查了利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，关键是掌握不等式恒成立时所取的条件．是中档题．
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