题目内容
已知过函数f（x）=x2+bx图象上点A（1，f（1））的直线l与直线3x-y+2=0平行，且直线l与函数图象只有一个交点．又数列
（n∈N*）的前n项和为Sn，则S2012的值为 ．
| 1 | f(n) |
分析：利用导数的几何意义求b，然后通过数列{
}的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出S2013的值．
| 1 |
| f(n) |
解答：解：∵f（x）=x2+bx，
∴f'（x）=2x+b，
∵直线3x-y+2=0的斜率为3，
又点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，
∴f'（1）=2+b=3，解得b=1，
∴f（x）=x2+x=x（x+1），
∴
=
=
-
，
∴S2012=(1-
)+(
-
)+…+(
-
)
=1-
=
，
∴S2012=
．
故答案为：
．
∴f'（x）=2x+b，
∵直线3x-y+2=0的斜率为3，
又点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，
∴f'（1）=2+b=3，解得b=1，
∴f（x）=x2+x=x（x+1），
∴
| 1 |
| f(n) |
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
∴S2012=(1-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2012 |
| 1 |
| 2013 |
=1-
| 1 |
| 2013 |
=
| 2012 |
| 2013 |
∴S2012=
| 2012 |
| 2013 |
故答案为：
| 2012 |
| 2013 |
点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，数列的求和．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．常见的数列求和的方法有：分组求和法，裂项法，错位相减法，倒序相加法．要根据具体的通项公式的特点进行判断该选用什么方法进行求和．本题利用裂项法求数列的和，考查学生的综合能力．属于中档题．
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