Question

已知定义在R上的函数f（x）满足下面两个条件：
①对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）
②当x＞0时，f（x）＜0
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（2）判断f（x）的单调性，并证明；
（3）如果不等式对于任意x∈R都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）取x=y=0，可得f（0）=0，
再取y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
所以f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数 …（5分）
（2）任取x₁＜x₂，则 f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
可得 f（x₁）＞f（x₂），所以f（x） 在R上是减函数 …（10分）
（3）∵，且f（x）是奇函数
∴
∵f（x） 在R上是减函数
∴，即
∴
∴下面即求函数的最大值
由于=，sinx∈[-1，1]
∴当且仅当sinx=1时，=
所以…（16分）
分析：（1）根据已知等式，采用赋值法结合函数奇偶性的定义，可得f（x）是奇函数；
（2）根据函数单调性的定义，任取x₁＜x₂，将 f（x₂）与f（x₁）作差得到负数，从而 f（x₁）＞f（x₂），得到f（x） 在R上是减函数；
（3）根据函数在R上是奇函数且为减函数，将原不等式转化为在R上恒成立，再根据二次函数在闭区间上的最值，得到不等式右边的最大值，从而得到实数m的取值范围．
点评：本题着重考查了函数的单调性与奇偶性、复合三角函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．