题目内容

2.如图,三棱锥A-BCD中,AB=BC=CD=DA=BD=AC=2a,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.
(1)证明四边形EFGH是四边形
(2)求多面体BD-EFGH的体积.

分析 (1)在△ABC中,E、F分别是边AB、BC中点,得到EF∥AC,且EF=$\frac{1}{2}$AC,GH∥AC,且GH=$\frac{1}{2}$AC,得到四边形EFGH是平行四边形.
(2)求出三棱锥的体积,由对称性易知平面EFGH将正四面体两等分,即可得出结论.

解答 (1)证明:在△ABC中,E、F分别是边AB、BC中点,
所以EF∥AC,且EF=$\frac{1}{2}$AC,
同理有GH∥AC,且GH=$\frac{1}{2}$AC,
∴EF∥GH且EF=GH,
故四边形EFGH是平行四边形.
(2)解:显然这个三棱锥是正四面体,高为$\sqrt{(2a)^{2}-(\frac{2\sqrt{3}}{3}a)^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$a,其体积为V=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{4}•4{a}^{2}•\frac{2\sqrt{6}}{3}a$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}{a}^{3}$,
∵AB=BC=CD=DA=BD=AC=2a,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
∴四边形EFGH为正方形.
由对称性易知平面EFGH将正四面体两等分,
∴多面体BD-EFGH的体积为$\frac{\sqrt{2}}{3}{a}^{3}$.

点评 主要考查知识点:简单几何体和公理四,多面体BD-EFGH的体积.公理四:和同一条直线平行的直线平行.

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