Question

给出下列四个结论：
①若α、β为锐角，tan（α+β）=-3，，则；
②在△ABC中，若，则△ABC一定是钝角三角形；
③已知双曲线，其离心率e∈（1，2），则m的取值范围是（-12，0）；
④当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则焦点在y轴上且过点P的抛物线的标准方程是x²=．其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：①由题意可先求tan（α+2β）=，结合α，β为锐角且可求α+2β的范围，进而可求
②由，可得0，则B＞90°
③根据离心率的范围求得m的取值范围判断．
④，先求出直线恒过的定点，再求出符合条件的抛物线方程
解答：解：①由tan（α+β）=-3，，则可得tan（α+2β）==
∵α，β为锐角且可知
∴
∴，故①正确
②△ABC中，若，则0，则B＞90°，则△ABC一定是钝角三角形，故②正确
③离 心率1＜e=＜2，解得-12＜m＜0，故m的范围是-12＜m＜0，③正确，
④整理直线方程得（x+2）a+（1-x-y）=0，可知直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P（-2，3），可设抛物线方程为x²=2py，由过（-2，3）可得4=6p，则，故符合条件的方程是 ，则④正确
故其中所有正确结论的个数是：4
故选D．
点评：本小题主要考查抛物线的标准方程及性质、双曲线的标准方程及性质、不等式的解法，两角和的正切公式的应用及向量的夹角的应用．