题目内容
已知抛物线
的顶点在坐标原点
，对称轴为
轴，焦点为
,抛物线上一点
的横坐标为2，且
.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点
作直线
交抛物线于
，
两点,求证:
.
(1)
(2)详见解析.
【解析】
试题分析：(1)可利用待定系数法设抛物线方程为
求解；
(2)因为是直线与圆锥曲线的相交问，可以设直线方程（斜率不存在时单独讨论），然后联立抛物线方程和直线方程运用韦达定理结合条件来求解.
试题解析：【解析】
(1)由题设抛物线的方程为：，
则点
的坐标为
，点
的一个坐标为
，2分
∵
，∴
，4分
∴
，∴
，∴.6分
(2)设
、
两点坐标分别为
、
，
法一：因为直线当
的斜率不为0，设直线当的方程为
方程组
得
，
因为
所以
=0，
所以
.
法二：①当的斜率不存在时，的方程为
，此时
即
有
所以. 8分
当的斜率存在时，设的方程为
方程组
得
所以
10分
因为
所以
所以.
由①②得.12分
考点：1.抛物线的标准方程；2.直线与圆锥曲线的位置关系.
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