Question

如图，在体积为1的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AA₁=1，P为线段AB上的动点．
（1）求证：CA₁⊥C₁P；
（2）求CA₁与平面AB₁C₁所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中侧棱AA₁⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AA₁=1，结合直三棱锥的性质及正方形的性质，可得AP⊥CA₁，CA₁⊥AC₁，由线面垂直的判定定理可得CA₁⊥平面AC₁P，再由线面垂直的性质，可得CA₁⊥C₁P
（2）由已知中三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积为1，可得AB=2，以AA₁，A₁B₁，A₁C₁分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面AB₁C₁的法向量和直线CA₁的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到CA₁与平面AB₁C₁所成的角的正弦值．
解答：证明：（1）∵侧棱AA₁⊥底面ABC
AA₁⊥AB，又AC⊥AB，
∴AB⊥平面AA₁C₁C，即AP⊥平面AA₁C₁C，
∴AP⊥CA₁，又AC=AA₁=1，所以四边形AA₁C₁C是正方形，
∴CA₁⊥AC₁，从而CA₁⊥平面AC₁P，
又C₁P?平面AC₁P
∴CA₁⊥C₁P
解：（2）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积为1，即V=S_△ABC×AA₁=AB×1×1=1，
∴AB=2、
以AA₁，A₁B₁，A₁C₁分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则由题设条件得
A（1，0，0），B₁（0，2，0），C₁（0，0，1），C（1，0，1），
=（1，0，-1），=（1，-2，0），设平面AB₁C₁的法向量=（x，y，z），则
，
令x=1，则平面AB₁C₁的法向量=（1，，1），又=（1，0，-1），
所以cos＜•＞=，
即CA₁与平面AB₁C₁所成的角的正弦值为
点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定与性质，其中（1）的关键是熟练掌握空间直线与直线，直线与平面垂直的相互转化，（2）的关键是建立坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，将线面夹角问题转化为空间向量夹角问题．