Question

已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2-x），当-2≤x＜0时，f（x）=2^x，则f（2013）=

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2

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Answer 1

分析：先由f（x）的奇偶性及f（2+x）=f（2-x）推出其周期，再化简f（2013），最终把自变量的值转化到区间[-2，0]上计算．

解答：解：∵y=f（x）是奇函数，∴f（2+x）=f（2-x）=-f（x-2），
由此可得f（x+4）=-f（x），∴f（x+8）=-f（x+4）=-[-f（x）]=f（x）．
所以f（x）是周期函数，且T=8为其周期，
∴f（2013）=f（5+251×8）=f（5）=f（2+3）=f（2-3）=f（-1），
又当-2≤x＜0时，f（x）=2^x，所以f（-1）=2^-1=

1

2

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故答案为：

1

2

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点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性及图象的对称性，解决本题的关键是求出函数f（x）的周期．一般说来，若自变量的值特别大，往往利用函数周期性求解．