题目内容
请认真阅读下列程序框图：已知程序框图xi=f（xi-1）中的函数关系式为f(x)=
| 4x-2 |
| x+1 |
（1）若输入x0=
| 49 |
| 65 |
（2）若输出的无穷数列{xn}是一个常数列，试求输入的初始值x0的值；
（3）若输入一个正数x0时，产生的数列{xn}满足：任意一项xn，都有xn＜xn+1，试求正数x0的取值范围．
分析：（1）利用 f(x)=
，x0=
及工作原理，注意函数的定义域，直接可求得数列{xn}的只有三项；
（2）要数列发生器产生一个无穷的常数列，则有 f(x)=
=x，从而求出相应的初始数据x0的值；
（Ⅲ）要使对任意正整数n，均有xn＜xn+1，则必须
＞xn，得1＜xn＜2，要使任意一项xn，都有xn+1＞xn，须（x0-2）（x0-1）＜0，解得：1＜x0＜2，从而得出结论．
| 4x-2 |
| x+1 |
| 49 |
| 65 |
（2）要数列发生器产生一个无穷的常数列，则有 f(x)=
| 4x-2 |
| x+1 |
（Ⅲ）要使对任意正整数n，均有xn＜xn+1，则必须
| 4xn-2 |
| xn+1 |
解答：解：（1）当x0=
时，因为f（x）的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），
∴x1=f(x0)=
═
=
，
x2=f(x1)=
═
=
，
x3=f(x2)=
═
=-1∉D，
所以数列{xn}只有三项 x1=
，x2=
，x3=-1．
（2）数列{xn}是一个常数列，则有x1=x2=…=xn=x0即 x0=f(x0)=
，解得：x0=1或x0=2，
所以输入的初始值x0为1或2时输出的为常数列．
（3）由题意知 xn+1=f(xn)=
＞xn，因x0＞0，
∴xn＞0，有：
＞xn得4xn-2＞xn（xn+1）即xn2-3xn+2＜0，即（xn-2）（xn-1）＜0
要使任意一项xn，都有xn+1＞xn，须（x0-2）（x0-1）＜0，解得：1＜x0＜2，
所以当正数x0在（1，2）内取值时，所输出的数列{xn}对任意正整数n满足xn＜xn+1．
| 49 |
| 65 |
∴x1=f(x0)=
| 4x0-2 |
| x0+1 |
4×
| ||
|
| 11 |
| 19 |
x2=f(x1)=
| 4x2-2 |
| x2+1 |
4×
| ||
|
| 1 |
| 5 |
x3=f(x2)=
| 4x2-2 |
| x2+1 |
4×
| ||
|
所以数列{xn}只有三项 x1=
| 11 |
| 19 |
| 1 |
| 5 |
（2）数列{xn}是一个常数列，则有x1=x2=…=xn=x0即 x0=f(x0)=
| 4x0-2 |
| x0-1 |
所以输入的初始值x0为1或2时输出的为常数列．
（3）由题意知 xn+1=f(xn)=
| 4xn-2 |
| xn+1 |
∴xn＞0，有：
| 4xn-2 |
| xn+1 |
要使任意一项xn，都有xn+1＞xn，须（x0-2）（x0-1）＜0，解得：1＜x0＜2，
所以当正数x0在（1，2）内取值时，所输出的数列{xn}对任意正整数n满足xn＜xn+1．
点评：本小题主要考查数列与算法的简单结合、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
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，程序框图中的D为函数f（x）的定义域，把此程序框图中所输出的数xi组成一个数列{xn}．
，请写出数列{xn}的所有项；
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