Question

5．设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若S₄≥10，S₅≤15，S₇≥21，则a₇的取值区间为[3，7]．

Answer 1

分析 由S₅≤15，得a₃≤3．由S₇≥21，得a₄≥3．因为这是等差数列，所以此数列是递增的数列或者是常数列，故a₇≥3．由S₅≤15，得4a₂+a₇≤15．由S₄≥10，得4a₁+6d≥10，故a₇≤7，因此3≤a₇≤7．

解答 解：由S₅≤15，得，5a₁+10d≤15，
化简得，a₁+2d≤3，∴a₃≤3．
同理由S₇≥21，化简得a₄≥3，
∵这是等差数列，
∴此数列是递增的数列或者是常数列，故a₇≥3，
由S₅≤15，得5a₁+10d≤15，
∴4a₁+4d+（a₁+6d）≤15，
∴4a₂+a₇≤15．
由S₄≥10，得4a₁+6d≥10，
∴2a₁+3d≥5，
∴a₂+a₃≥5，
∵a₃≤3，∴a₂≥2，4a₂≥8，故a₇≤7，
因此3≤a₇≤7．
故答案为：[3，7]．

点评 本题考查等差数列的前n项和的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．