Question

已知函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．当x∈（-3，2）时f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]内的值域；
（Ⅱ）若ax²+bx+c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得-3，2是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的两根，故有

-3+2=- b-8 a -3×2= -a-ab a

，且a＜0，解得a和b，然后再根据函数单调性解出函数在[0，1]内的值域即可；
（Ⅱ）在已知a和b的情况下，不等式ax²+bx+c≤0的解集为R，列式

a=-3＜0 △=b2-4ac≤0

，可解出实数c的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．当x∈（-3，2）时f（x）＞0
∴-3，2是方程ax2+（b-8）x-a-ab=0的两根，
∴可得

-3+2=- b-8 a -3×2= -a-ab a

，所以  a=-3   b=5，
∴f（x）=-3x²-3x+18=-3（x+

1

2

）²+18.75
函数图象关于x=-0.5对称，且抛物线开口向下
∴在区间[0，1]上f（x）为减函数，所以函数的最大值为f（0）=18，最小值为f（1）=12
故f（x）在[0，1]内的值域为[12，18]
（Ⅱ）由（I）知，不等式ax²+bx+c≤0化为：-3x²+5x+c≤0
因为二次函数y=：-3x²+5x+c的图象开口向下，要使-3x²+5x+c≤0的解集为R，只需

a=-3＜0 △=b2-4ac≤0

，
即 25+12c≤0?c≤-

25

12

，
∴实数c的取值范围(-∞，-

25

12

]．

点评：本题考查二次函数的性质，一元二次不等式的解法，属于中档题．将一元二次不等式和一元二次方程以和二次函数相联系，采用数形结合的方法，是解决此种问题题的关键．
（I）采用一元二次方程根与系数关系，联解二元方程组，问题得解；
（II）结合函数图象，转化为抛物线所有的点在x轴下方或在x轴上的问题．