题目内容
已知椭圆
的一个焦点为
,与两坐标轴正半轴分别交于A,B两点(如图),向量
与向量
=
共线.
(1)求椭圆的方程;
(2)若斜率为k的直线过点C(0,2),且与椭圆交于P,Q两点,求△POC与△QOC面积之比的取值范围.
解:(1)由向量
与向量
=
共线,可得
∵焦点为
,∴a2-b2=8,∴b2=8,a2=16
∴椭圆的方程为
;
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),且x1<0,x2>0,
PQ的方程为y=kx+2,代入椭圆方程消去y,可得(2+k2)x2+4kx-12=0
∴x1+x2=-
①,x1x2=-
②
设△POC与△QOC面积之比为λ,即
结合①②得(1-λ)x1=-
,λx12=-
∴
=
>
∴
∴△POC与△QOC面积之比的取值范围为
.
分析:(1)利用向量共线,确定a,b的关系,结合椭圆的焦点坐标,即可求得椭圆的方程;
(2)直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理,即可求得比值的范围.
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,正确运用韦达定理是关键.




∵焦点为

∴椭圆的方程为

(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),且x1<0,x2>0,
PQ的方程为y=kx+2,代入椭圆方程消去y,可得(2+k2)x2+4kx-12=0
∴x1+x2=-


设△POC与△QOC面积之比为λ,即

结合①②得(1-λ)x1=-


∴




∴

∴△POC与△QOC面积之比的取值范围为

分析:(1)利用向量共线,确定a,b的关系,结合椭圆的焦点坐标,即可求得椭圆的方程;
(2)直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理,即可求得比值的范围.
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,正确运用韦达定理是关键.

练习册系列答案
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已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为( )
A、
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B、
| ||||
C、
| ||||
D、
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