题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的一个焦点为 $数学公式$ ，与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点（如图），向量 $数学公式$ 与向量 $数学公式$ = $数学公式$ 共线．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为k的直线过点C（0，2），且与椭圆交于P，Q两点，求△POC与△QOC面积之比的取值范围．

解：（1）由向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 共线，可得 $\text{[math]}$
∵焦点为 $\text{[math]}$ ，∴a²-b²=8，∴b²=8，a²=16
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且x₁＜0，x₂＞0，
PQ的方程为y=kx+2，代入椭圆方程消去y，可得（2+k²）x²+4kx-12=0
∴x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ①，x₁x₂=- $\text{[math]}$ ②
设△POC与△QOC面积之比为λ，即 $\text{[math]}$
结合①②得（1-λ）x₁=- $\text{[math]}$ ，λx₁²=- $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴△POC与△QOC面积之比的取值范围为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用向量共线，确定a，b的关系，结合椭圆的焦点坐标，即可求得椭圆的方程；
（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，即可求得比值的范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．