Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b•cosA=c•cosA+a•cosC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=

7

，b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据正弦定理把题设等式中的边换成相应角的正弦，化简整理可求得cosA，进而求得A．
（Ⅱ）根据余弦定理得a²=b²+c²-2bccos60°=7，进而根据b+c=4求得bc，进而根据三角形的面积公式求得△ABC面积．

解答：解：（Ⅰ）根据正弦定理∵2b•cosA=c•cosA+a•cosC．
∴2sinB•cosA=sinC•cosA+sinA•cosC，
∵sinB≠0
∴cosA=

1

2

又∵0°＜A＜180°，∴A=60°．
（Ⅱ）由余弦定理得：
a²=b²+c²-2bccos60°=7，
代入b+c=4得bc=3，
故△ABC面积为S=

1

2

bcsinA=

3 3

4

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的关键是利用这两个定理完成了边角问题的互化．