Question

设双曲线C：

x2

a2

-y2=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．
（Ⅰ）求双曲线C的离心率e的取值范围：
（Ⅱ）设直线l与y轴的交点为P，且

PA

=

5

12

PB

．求a的值．

Answer 1

分析：（I）把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和方程二次项系数不等于0求得a的范围，进而利用a和c的关系，用a表示出离心率，根据a的范围确定离心率的范围．
（II）设出A，B，P的坐标，根据

PA

=

5

12

PB

求得x₁和x₂的关系式，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，联立方程求得a．

解答：解：（I）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组

x2 a2 -y2=1 x+y=1.

有两个不同的实数解．消去y并整理得
（1-a²）x²+2a²x-2a²=0．①
所以

1-a2≠0. 4a4+8a2(1-a2)＞0.

解得0＜a＜

2

且a≠1．
双曲线的离心率
e=

1+a2

a

=

1 a2 +1

．
∵0＜a＜

2

且a≠1，
∴e＞

6

2

且e≠

2

即离心率e的取值范围为(

6

2

，

2

)∪(

2

，+∞)．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，1）
∵

PA

=

5

12

PB

，
∴(x1，y1-1)=

5

12

(x2，y2-1)．
由此得x1=

5

12

x2．
由于x₁和x₂都是方程①的根，且1-a²≠0，
所以

17

12

x2=-

2a2

1-a2

．
x₁•x₂=

5

12

x

2 2

=-

2a2

1-a2

．
消去x₂，得-

2a2

1-a2

=

289

60

由a＞0，所以a=

17

13

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．