Question

设双曲线C：

x2

a2

-y2=1 (a＞0) 与直线 l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．
（1）求a的取值范围：（2）设直线l与y轴的交点为P，且

PA

=

5

12

PB

．求a的值．

Answer 1

分析：（1）直线与双曲线方程联立消去y，根据判别式和1-2a²≠0，求得a的范围．
（2）设出A，B，P的坐标，根据

PA

=

5

12

PB

求得x₁和x₂的关系式，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，联立方程求得a．

解答：解：（1）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组

x2 a2 -y2=1 x+y=1.

有两个不同的实数解．
消去y并整理得 （1-a²）x²+2a²x-2a²=0①，所以

1-a2≠0. 4a4+8a2(1-a2)＞0.

   解得0＜a＜

2

且a≠1．
所以a的取值范围为：(0，1)∪(1，

2

)．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，1）
∵

PA

=

5

12

PB

，    ∴(x1，y1-1)=

5

12

(x2，y2-1).     由此得x1=

5

12

x2．
由于x₁，x₂都是方程①的根，且1-a²≠0，
所以

17

12

x2=-

2a2

1-a2

．，

5

12

x

2 2

=-

2a2

1-a2

.    消去，x2，得-

2a2

1-a2

=

289

60

    由a＞0，所以a=

17

13

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生对圆锥曲线和直线问题的综合把握．