题目内容

已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形F1B1 F2B2是一个面积为8的正方形.

(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P的坐标为P(－4,0), 过P点的直线L与椭圆C相交于M、N两点,当线段MN的中点G落在正方形内(包含边界)时,求直线L的斜率的取值范围.

（1）；（2）

解析试题分析：（1）依题意需要求椭圆的标准方程，所以要找到两个关于基本量的等式，由以及面积的关系可求椭圆的方程.
（2）由于直线与椭圆的相交得到的弦的中点坐标，可通过假设直线方程与椭圆的方程联立可求得，判别式要大于零.其中用直线的斜率表示中点坐标.由于中点在正方形内，其实就是要符合一个不等式的可行域问题.因此通过解不等式即可得到所求的结论.
试题解析：(1)求得椭圆C的方程为;;
(2)∵点P的坐标为(-4,0),显然直线L的斜率k存在,
∴直线L方程为 如图设点M、N的坐标分别为,
线段MN的中点为,由
由△>0解得:      又
, ∵, ∴点G不可能在y轴的右边,
又直线F1B2, F1B1的方程分别为.
∴点G在正方形B1F2B1F1内的充要条件为:    即
即.
考点：1.椭圆的性质.2.直线与椭圆的位置关系.3.线性规划的知识.4.韦达定理.

练习册系列答案
相关题目

已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，一条准线l：x＝2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点．
①若PQ＝，求圆D的方程；
②若M是l上的动点，求证点P在定圆上，并求该定圆的方程．

已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．

(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO、BO分别交直线l：y＝x－2于M、N两点，求|MN|的最小值．

如图，焦距为的椭圆的两个顶点分别为和，且与n，共线．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，
求实数的取值范围．

已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点为抛物线x2＝4y的焦点．
(1)求椭圆方程；
(2)若直线y＝x－1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程；
(3)若斜率为1的直线交椭圆于M、N两点，求△OMN面积的最大值(O为坐标原点)．

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，）．
（1）化曲线的极坐标方程为直角坐标方程；
（2）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长．

已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，M点的坐标为(12,8)，N点在抛物线C上，且满足＝，O为坐标原点．

(1)求抛物线C的方程；
(2)以M点为起点的任意两条射线l1，l2的斜率乘积为1，并且l1与抛物线C交于A，B两点，l2与抛物线C交于D，E两点，线段AB，DE的中点分别为G，H两点．求证：直线GH过定点，并求出定点坐标．

已知为椭圆上的三个点，为坐标原点.
（1）若所在的直线方程为，求的长；
（2）设为线段上一点，且，当中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由.

已知点分别是椭圆的左、右焦点, 点在椭圆上上.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程;
（Ⅱ）设直线若、均与椭圆相切,试探究在轴上是否存在定点,点到的距离之积恒为1?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由.

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