Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，P为CD的中点．
（1）求证：CD⊥平面MAP；
（2）求证：MP∥平面OBC；
（3）求三棱锥M-PAD的体积．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的性质，可得OA⊥CD，再利用线面垂直的判定，可得线面垂直；
（2）设N为线段OB的中点，连接MN、CN，可得四边形MNCP为平行四边形，从而可得MP∥CN，利用线面平行的判定，可得线面平行；
（3）利用三棱锥的体积公式，即可求得结论．

解答：（1）证明：∵OA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴OA⊥CD
∵四边形ABCD这菱形且∠ABC=60°，∴△ACD为正三角形，
∵P为CD的中点，∴AP⊥CD
又OA∩AP=A，∴CD⊥平面MAP；…（5分）
（2）证明：设N为线段OB的中点，连接MN、CN，则
∵M为OA的中点，∴MN∥AB，且MN=

1

2

AB，∴MN∥CP且MN=CP，
∴四边形MNCP为平行四边形，∴MP∥CN
∵MP?平面OBC，CN?平面OBC
∴MP∥平面OBC；…（10分）
（3）解：∵OA=CD=2，∴AP=

3

，PD=1，MA=1，
∴VM-PAD=

1

3

•

1

2

•1•

3

•1=

3

6

…（14分）

点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，属于中档题．