Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴于P，Q两点，且AP：PQ=8：5．
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知直线l过点M（-3，0），倾斜角为

π

6

，圆C过A，Q，F三点，若直线l恰好与圆C相切，求椭圆方程．

Answer 1

分析：（1）设出P，Q，F坐标，利用c=

a2-b2

以及AP：PQ=8：5，求出P的坐标代入椭圆方程，即可求椭圆的离心率；
（2）利用直线l过点M（-3，0），倾斜角为

π

6

，求出直线的方程，通过圆C过A，Q，F三点，直线l恰好与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径，求出a，b，c的值，即可求得椭圆方程．

解答：解：（1）设点Q（x₀，0），F（-c，0），P（x，y），其中c=

a2-b2

，A（0，b）．
由AP：PQ=8：5，得

AP

=

8

13

AQ

，
即(x，y-b)=

8

13

(x0，-b)，得P(

8

13

x0，

5

13

b)，…（2分）
点P在椭圆上，∴(

8

13

)2

x02

a2

+(

5

13

)2=1⇒x0=

3

2

a．①…（4分）
而

FA

=(c，b)，

AQ

=(x0，-b)，

FA

⊥

AQ

，
∴

FA

•

AQ

=0．
∴cx0-b2=0，x0=

b2

c

．②…（6分）
由①②知2b²=3ac，
∴2c²+3ac-2a²=0．
∴2e²+3e-2=0，
∴e=

1

2

．　…（8分）
（2）由题意，得直线l的方程y=

3

3

(x+3)，即x-

3

y+3=0，
满足条件的圆心为O′(

b2-c2

2c

，0)，
又a=2c，∴

b2-c2

2c

=

a2-c2-c2

2c

=c，∴O′（c，0）．　　…（10分）
圆半径r=

b2 c +2

2

=

a2

2c

=a．　             …（12分）
由圆与直线l：x-

3

y+3=0相切得，

|c+3|

2

=a，…（14分）
又a=2c，∴c=1，a=2，b=

3

．
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1． …（16分）

点评：本题是中档题，考查题意的离心率的求法，直线与圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力，转化思想，常考题型．