题目内容

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（侧棱和底面垂直的棱柱）中，有AC⊥AB，AC=AB=AA₁=2，E，F分别是棱AB，A₁C₁的中点．
（I）证明：EF∥平面BCC_1B₁；
（II）求点C₁到平面AFB₁的距离．

解：（Ⅰ）证明：如图：作B₁C₁的中点D，连接FD、BD，
FD∥ $\text{[math]}$ A₁B₁，且FD= $\text{[math]}$ A₁B₁，FB∥ $\text{[math]}$ A₁B₁，且FB= $\text{[math]}$ A₁B₁，∴FD∥EB，且FD=EB
∴四边形FEBD是平行四边形，∴FE∥BD
又FE∥BD，BD?平面BCC₁B₁，∴FE∥平面BCC₁B₁，
（Ⅱ）可以计算出AF=B₁F= $\text{[math]}$ ，AB₁=2 $\text{[math]}$ ，所S $\text{[math]}$ ，
设点C₁到平AFB₁的距离为h，
则由 $\text{[math]}$ S_△AFB₁×h= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，即可算得h= $\text{[math]}$ （13分）
∴点C₁到平面AFB₁的距离 $\text{[math]}$
分析：（I）作B₁C₁的中点D，连接FD、BD，只要证明FE∥BD，即可证明FE∥平面BCC₁B₁；
（II）设点C₁到平AFB₁的距离为h，由（I）知h是三棱锥C₁-AFB₁的高，先求出三角形AFB₁的面积，再利用换低公式和体积相等求出C₁到平面AFB₁的距离．
点评：本题考查直线与平面平行的判定，点、线、面间的距离计算的知识，考查了转化思想和推理论证能力．特别注意的是求点到面的距离可用体积相等和换底求解．