题目内容

如图一,△ABC是正三角形,△ABD是等腰直角三角形,AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起, 使得△ABD与△ABC成30o的二面角,如图二,在二面角中.

(1) 求CD与面ABC所成的角正弦值的大小;
(2) 对于AD上任意点H,CH是否与面ABD垂直。

(1) =
(2) CH不可能同时垂直BD和BA,即CH不与面ABD垂直。

解析试题分析:依题意,ABD=90o,建立如图的坐标系使得△ABC在yoz平面上,△ABD与△ABC成30o的二面角, DBY=30o,又AB=BD=2,  A(0,0,2),B(0,0,0),C(0,,1),D(1,,0),

(1)x轴与面ABC垂直,故(1,0,0)是面ABC的一个法向量。
设CD与面ABC成的角为,而= (1,0,-1),
sin==
[0,],=; 6分
(2) 设=t= t(1,,-2)= (t,t,-2 t),
=+=(0,-,1) +(t,t,-2 t) = (t,t-,-2 t+1),
,则 (t,t-,-2 t+1)·(0,0,2)="0" 得t=, 10分
此时=(,-,0),而=(1,,0),·=-=-10, 不垂直,即CH不可能同时垂直BD和BA,即CH不与面ABD垂直。12分
考点:立体几何中的平行关系、垂直关系,角的计算,空间向量的应用。
点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,本题利用空间向量,简化了证明及计算过程。

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