题目内容
（1）已知函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q
满足a2+b2+c2=n2+p2+q2=m．
（Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）求证：
+
+
≥2．
（2）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin(θ-
)=2
．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且
•
=10（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．
满足a2+b2+c2=n2+p2+q2=m．
（Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）求证：
| n4 |
| a2 |
| p4 |
| b2 |
| q4 |
| c2 |
（2）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
|
| π |
| 4 |
| 2 |
（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；
（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且
| OA |
| OB |
（1）（Ⅰ）解法一：f(x)=|x-2|+|x-4|=
，可得函数的最小值为2．故m=2．
法二：f（x）=|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，
当且仅当2≤x≤4时，等号成立，故m=2．
（Ⅱ）证明：∵[(
)2+(
)2+(
)2]•(a2+b2+c2)≥(
•a+
•b+
•c)2
∴(
+
+
)×2≥（n2+p2+q2）2=4，故
+
+
≥2．
（2）（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：
+y2=4．…1分
①当t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆； …2分
②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…3分
（Ⅱ）直线l的普通方程为：x-y+4=0．…4分
联立直线与曲线的方程，消y得
+(x+4)2=4，化简得（1+t2）x2+8t2x+12t2=0．
若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t4-4（1+t2）•12t2＞0，解得t2＞3．
又x1+x2=-
，x1x2=
，…6分
故
•
=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+4)(x2+4)=2x1x2+4（x1+x2）+16=10．
解得t2=3与t2＞3相矛盾．故不存在满足题意的实数t．…7分．
|
法二：f（x）=|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，
当且仅当2≤x≤4时，等号成立，故m=2．
（Ⅱ）证明：∵[(
| n2 |
| a |
| p2 |
| b |
| q2 |
| c |
| n2 |
| a |
| p2 |
| b |
| q2 |
| c |
∴(
| n4 |
| a2 |
| p4 |
| b2 |
| q4 |
| c2 |
| n4 |
| a2 |
| p4 |
| b2 |
| q4 |
| c2 |
（2）（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：
| x2 |
| t2 |
①当t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆； …2分
②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…3分
（Ⅱ）直线l的普通方程为：x-y+4=0．…4分
联立直线与曲线的方程，消y得
| x2 |
| t2 |
若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t4-4（1+t2）•12t2＞0，解得t2＞3．
又x1+x2=-
| 8t2 |
| 1+t2 |
| 12t2 |
| 1+t2 |
故
| OA |
| OB |
解得t2=3与t2＞3相矛盾．故不存在满足题意的实数t．…7分．
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