Question

在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（   ）

A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为

B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为

C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为

D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为

 

Answer 1

【答案】

C

【解析】设底面边长为1，侧棱长为λ（λ＞0），

过B₁作B₁H⊥BD₁，B₁G⊥A₁B．

在Rt△BB₁D₁中，，

由三角形面积关系得：

设在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB₁，

所以BC⊥平面AA₁B₁B，于是BC⊥B₁G，

所以B₁G⊥平面AB₁CD₁，

故B₁G为点到平面A₁BCD₁的距离，

在Rt△A₁B₁B中，又由三角形面积关系得，

于是，

于是当λ＞1，所以λ²+2＞3，，所以.

本小题综合性强，难度偏大，解题的关键是建立,然后转化为函数问题来解决。