Question

定义：对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.
（1）已知二次函数，试判断是否为定义域上的“局部奇函数”？若是，求出满足的的值；若不是，请说明理由；
（2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；
（3）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）是“局部奇函数”；（2）；（3）.

解析试题分析：（1）利用局部奇函数的定义，建立方程关系，然后判断方程是否有解，有解则是“局部奇函数”，若无解，则不是；（2）（3）都是利用“局部奇函数的定义”，建立方程关系，并将方程有解的问题转化成二次方程根的分布问题，从而求出各小问参数的取值范围.
试题解析：（1）当，方程即，有解
所以为“局部奇函数”
（2）法一：当时，可化为
因为的定义域为，所以方程在上有解
令，则，设，则在上为减函数，在上为增函数，所以当时，，所以，即；
法二：当时，可化为
因为的定义域为，所以方程即在上有解
令，则关于的二次方程在上有解即可保证为“局部奇函数”
设，当方程在上只有一解时，须满足或，解之得（舍去，因为此时方程在区间有两解，不符合这种情况）或；
当方程在上两个不等的实根时，须满足
，综上可知；
（3）当为定义域上的“局部奇函数”时
,可化为，
令则,
从而在有解,即可保证为“局部奇函数”
令，则
①当时,在有解,即,解得
②当时,在有解等价于
解得;综上可知.
考点：1.新定义；2.函数与方程；3.一元二次方程根的分布问题.