Question

【题目】已知椭圆C：的离心率为，经过点过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且与椭圆C的左准线交于点N．

求椭圆C的标准方程；

当时，求直线l的方程；

设，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）9

【解析】

由椭圆的离心率为和经过点，列出方程组，求出a,b,c可得椭圆的标准方程．设直线l方程为，，，椭圆的左准线方程为,得到点M和N的坐标，求出，将直线与椭圆联立利用根的判别式、韦达定理、弦长公式得到AB，结合已知条件求直线l方程．设直线l方程为，存在，求出点到直线l的距离和弦长，计算的面积利用导数可求得最大值.

椭圆C：的离心率为，经过点．

由题意得，解得，，，

椭圆C的标准方程为．

设直线l的方程为，存在，，，

椭圆的左准线方程为，，

又，，

由，得，

，，

，

，，

解得，直线l的方程为．

设直线l的方程为，存在，

则到直线l的距离，

由知，

的面积，令，，则，

，，

当时，S单调递减，当时，S取得最大值，且最大值为9，

面积的最大值为9．