Question

在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若c-a等于AC边上的高h，则sin+cos的值是（ ）
A．1
B．
C．
D．-1

Answer 1

【答案】分析：由AC边上的高为c-a，由AC=b，表示出三角形的面积，再由a，c及sinB，利用三角形的面积公式表示出面积，两者相等列出关系式，利用正弦定理化简后，根据sinB不为0，得到sinA-sinC=sinAsinC，左边利用和差化积公式变形，右边利用积化和差公式变形，表示出2cossin，将所求式子平方并利用完全平方公式展开，第一、三项利用二倍角的余弦函数公式化简，将表示出的2cossin代入，求出值，再由c-a大于0，得到C大于A，可得出的范围，进而确定出sin大于0，由三角形内角和定理得到=90°-，得出的范围，进而确定出cos大于0，可得出所求式子大于0，开方即可求出值．
解答：解：∵S_△ABC=acsinB=b（a-c），
∴acsinB=b（a-c），
利用正弦定理化简得：sinAsinBsinC=sinB（sinA-sinC），
∵sinB≠0，
∴sinA-sinC=sinAsinC，
∴2cossin=[cos（A-C）-cos（A+C）]，
又cos（A-C）=1-2sin²，cos（A+C）=2cos²-1，
∴（sin+cos）²=sin²+2sin+cos+cos²
=[1-cos（C-A）]+[cos（C-A）-cos（A+C）]+[1+cos（C+A）]=1，
∵c-a＞0，∴C＞A，
∴0＜＜90°，
∴sin＞0，
又=90°-，且0＜90°-＜90°，
∴cos＞0，
∴sin+cos＞0，
则sin+cos=1．
故选A
点评：此题考查了三角形的和差化积公式，二倍角的余弦函数公式，正弦定理，三角形的面积公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．