Question

已知函数f（x）=x²-8lnx，
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间（a，a+1）上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）已知f（x）在区间（a，a+1）上为增函数，即f′（x）≥0在区间（a，a+1）上恒成立，然后结合解分式不等式求a的取值范围即可．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-8lnx
∴f′（x）=2x-

8

x

．
∴f'（1）=-6．
又∵f（1）=1，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=-6（x-1）．
即y=-6x+7．
（2）由（1）得f′（x）=2x-

8

x

．
∵函数f（x）在区间（a，a+1）上为增函数，
∴2x-

8

x

≥0区间（a，a+1）上恒成立，
而不等式2x-

8

x

≥0即

(x-2)(x+2)

x

≥0，
解得，-2≤x≤0或x≥2，
∴a的取值范围-2≤a≤-1或a≥2．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程，考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强．