题目内容
（2011•资阳一模）如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图①；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），在图形变化过程中，图①中线段AM的长度对应于图③中的弧ADM的长度，如图③．图③中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n．
给出下列命题：
①f（
）=1；
②f（x）是奇函数；
③f（x）在定义域上单调递增；
④f（x）的图象关于点（
，0）对称．
则所有真命题的序号是
给出下列命题：
①f（
| 1 |
| 4 |
②f（x）是奇函数；
③f（x）在定义域上单调递增；
④f（x）的图象关于点（
| 1 |
| 2 |
则所有真命题的序号是
③④
③④
．（填出所有真命题的序号）分析：①当m=
时，此时M恰好处在左半圆弧的中点上，此时可以求出对应直线AM的方程，进而可求n．
②由定义域不关于原点对称，可判断函数不是奇函数．
③在圆上，当点M在圆上运动时，N由x的负半轴向正半轴运动时，可判断函数的单调性．
④根据点M的运动过程，可知函数的对称性．
| 1 |
| 4 |
②由定义域不关于原点对称，可判断函数不是奇函数．
③在圆上，当点M在圆上运动时，N由x的负半轴向正半轴运动时，可判断函数的单调性．
④根据点M的运动过程，可知函数的对称性．
解答：解：①因为AB=1，所以圆的周长为1，由2πr=1，所以解得圆的半径r=
，所以圆心坐标为（0，1-
），当m=
时，此时M恰好处在左半圆弧的中点上，此时M的坐标为（-
，1-
），对应直线AM的方程为y=x+1．当y=0时，解得x=-1，即N（-1，0），所以n=-1，即f（
）=-1，所以①错误．
②由定义可知函数的定义域为（0，1），关于原点不对称，所以函数f（x）为非奇非偶函数，所以②错误．
③由图3可以看出，m由0增大到1时，M由A运动到B，此时N由x的负半轴向正半轴运动，由此知，N点的横坐标逐渐变大，故f（x）在定义域上单调递增．所以③正确．
④由图3可以看出，当M点的位置离中间位置相等时，N点关于y轴对称，即此时函数值互为相反数，故可知f（x）的图象关于点（
，0）对称，所以④正确．
故答案为：③④．
| 1 |
| 2π |
| 1 |
| 2π |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2π |
| 1 |
| 2π |
| 1 |
| 4 |
②由定义可知函数的定义域为（0，1），关于原点不对称，所以函数f（x）为非奇非偶函数，所以②错误．
③由图3可以看出，m由0增大到1时，M由A运动到B，此时N由x的负半轴向正半轴运动，由此知，N点的横坐标逐渐变大，故f（x）在定义域上单调递增．所以③正确．
④由图3可以看出，当M点的位置离中间位置相等时，N点关于y轴对称，即此时函数值互为相反数，故可知f（x）的图象关于点（
| 1 |
| 2 |
故答案为：③④．
点评：本题考查了函数的实际应用，考查学生的阅读和分析能力．本题难度较大，正确阅读题意是解题的关键．
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