题目内容

(2011•资阳一模)已知函数f(x)=|2x-1|+|x+2|+2x(x∈R),
(Ⅰ)求函数f(x)的最小值;
(Ⅱ)已知m∈R,命题p:关于x的不等式f(x)≥m2+2m-2对任意x∈R恒成立;命题q:指数函数y=(m2-1)x是增函数.若“p或q”为真,“p且q”为假,求实数m的取值范围.
分析:(Ⅰ)化简函数f(x)的解析式,作出函数f(x)的图象,可知函数f(x)在x=-2处取得最小值1.
(Ⅱ)解一元二次不等式求得命题p:-3≤m≤1,求得命题q:m<-
2
或m>
2
.若p真q假,求得m的范围;若p假q真,求得得m的范围,再把这2个m的范围取并集,即得所求.
解答:解:(Ⅰ)由函数f(x)=|2x-1|+|x+2|+2x 得 f(x)=
-x-1 ,x<-2
x+3 ,-2≤x≤
1
2
5x+1 ,x>
1
2

作出函数f(x)的图象,可知函数f(x)在x=-2处取得最小值为1.(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得m2+2m-2≤1,
即m2+2m-3≤0,解得-3≤m≤1,
∴命题p:-3≤m≤1.(6分)
对于命题q,函数y=(m2-1)x 是增函数,则m2-1>1,即 m2>2,
∴命题q:m<-
2
 或m>
2
.(8分)
由“p或q”为真,“p且q”为假可知有以下两个情形:
若p真q假,则
-3≤m≤1
-
2
≤m≤
2
解得-
2
≤m≤1,(10分)
若p假q真,则
m<-3,或m>1
m<-
2
,或m>
2
 解得m<-3或m>
2

故实数m的取值范围是(-∞,-3)∪[-
2
,1]∪(
2
,+∞).(12分)
点评:本题主要考查带由绝对值的函数,一元二次不等式的解法,复合命题的真假,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.
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